Matheprojekte der Justus-Liebig-Universität Gießen für Grundschülerinnen und Grundschüler/Mathelexikon WiSe 16 17/Teilbarkeit

Teilbarkeit

Teilbar sind zwei Zahlen, wenn man die eine Zahl durch die andere teilt (dividiert) und bei dieser Rechnung kein Rest raus kommt, die Aufgabe also aufgeht und man als Ergebnis eine ganze Zahl erhält.

Beispiel 12 : 4 = 3

Beispiel 17 : 4 = 4,25 oder 17 : 4 = 4 Rest 1

Die Zahl 12 wird durch die Zahl 4 geteilt. 4 passt genau 3 Mal in die 12. Das Ergebnis der Aufgabe ist also 3. Die Zahl 3 ist eine ganze Zahl. Bei der Rechnung bleibt keinen Rest übrig. Also ist 12 durch 4 teilbar. Jetzt soll die Zahl 17 durch die Zahl 4 geteilt werden. Bei dieser Aufgabe kommt keine ganze Zahl raus. Es bleibt ein Rest übrig. 17 ist also nicht durch 4 teilbar.

Immer wenn man überprüfen möchte, ob man eine bestimmte Anzahl an Gegenständen (Murmeln, Bonbons, Karten,…) zwischen mehreren Personen aufteilen kann, überprüft man die Teilbarkeit dieser Zahlen.

Beispiel: Zoe hat mit ihren beiden Freunden Emil und Tom eine Murmelbahn gebaut. Jetzt sind die drei fertig und wollen sie ausprobieren. In der Dose sind 18 Murmeln. Die Freunde wollen die Murmeln so aufteilen, dass jeder gleich viele Murmeln bekommt.

Aufgabe: 18 : 3 = 6

Lösung: Die Murmeln können aufgeteilt werden. Jedes Kind bekommt 6 Murmeln.

Endstellenregel

Nicht immer muss man eine ganze Aufgabe ausrechnen um heraus zu finden, ob eine Zahl durch einen andere teilbar ist. Bei sehr großen Zahlen reicht es manchmal, wenn man nur auf die letzten Ziffern der Zahl schaut.

Wenn man herausfinden möchte, ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist, muss man nur auf die letzte Ziffer der Zahl Ziffer schauen:

Eine Zahl ist teilbar durch 2, wenn ihre letzte Ziffer eine gerade Zahl oder 0 ist. Sonst nicht.

63276 : 2 ist teilbar, weil die letzte Ziffer eine 6 ist.

Eine Zahl ist teilbar durch 5, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist. Sonst nicht.

72945 : 5 ist teilbar, weil die letzte Ziffer eine 5 ist.

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 ist. Sonst nicht.

83780 : 10 ist teilbar, weil die letzte Ziffer eine 0 ist.

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus ihren zwei Endziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. Sonst nicht.

17616 : 4 ist teilbar, weil 16 durch 4 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die aus ihren drei Endziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist. Sonst nicht.

78192 : 8 ist teilbar, weil 192 durch 8 teilbar ist.

Quersummenregel

Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist, muss man einen anderen Trick anwenden. Zuerst schaut man sich die ganze Zahl an und berechnet die Quersumme der Zahl. Um die Quersumme zu berechnen muss man alle Ziffern der Zahl addieren.

Zahl: 6382

Berechnung der Quersumme: 6+3+8+2 = 19

Lösung: Die Quersumme der Zahl 6382 ist 19.

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Sonst nicht.

8265 : 3 teilbar, weil die Quersumme (8+2+6+5 = 21) durch 3 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist. Sonst nicht.

99234 : 9 teilbar, weil die Quersumme (9+9+2+3+4 = 27) durch 9 teilbar ist.

Ausnahme

Es gibt leider keinen Trick um herauszufinden, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist. Hier muss man die ganze Divisionsaufgabe ausrechnen. Wenn bei der Rechnung eine ganze Zahl rauskommt, die Aufgabe also ohne Rest aufgeht, dann ist die Zahl durch 7 teilbar.