Matheprojekte der Justus-Liebig-Universität Gießen für Grundschülerinnen und Grundschüler/Mathelexikon WiSe 16 17/Teiler: Unterschied zwischen den Versionen

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== '''Teiler''' ==
== '''Teiler''' ==


'''Teiler''' sind Zahlen, die eine besondere Beziehung zu anderen Zahlen haben.
 
Wenn man eine Zahl durch diesen Teiler [[Matheprojekte der Justus-Liebig-Universität Gießen für Grundschülerinnen und Grundschüler/Mathelexikon WiSe 16 17/Division|dividiert]], bleibt kein Rest übrig. Jede Zahl hat mehrere Teiler. Mathematisch nennt man den Teiler auch '''Divisor'''.
Wenn man eine Zahl durch einen ihrer '''Teiler''' [[Matheprojekte der Justus-Liebig-Universität Gießen für Grundschülerinnen und Grundschüler/Mathelexikon WiSe 16 17/Division|dividiert]], bleibt [[Matheprojekte der Justus-Liebig-Universität Gießen für Grundschülerinnen und Grundschüler/Mathelexikon WiSe 16 17/Teilbarkeit|kein Rest]] übrig.  
 
Jede Zahl hat mehrere Teiler. Ein Ausnahmefall ist die Zahl 1, da diese ausschließlich die 1 als Teiler hat.
 
[[Datei:Teiler.png|thumb|]]
 
In der Mathematik nennt man den Teiler auch [[Matheprojekte der Justus-Liebig-Universität Gießen für Grundschülerinnen und Grundschüler/Mathelexikon WiSe 16 17/Division|Divisor]].  




==== Beispiel ====
==== Beispiel ====


Wenn man zum Beispiel '''12''' [[Matheprojekte der Justus-Liebig-Universität Gießen für Grundschülerinnen und Grundschüler/Mathelexikon WiSe 16 17/Division|geteilt]] durch '''3''' rechnet, bekommt man '''4''' raus. Es bleibt kein Rest bestehen. Somit ist '''3''' ein Teiler von '''12.'''
Wenn man zum Beispiel 12 [[Matheprojekte der Justus-Liebig-Universität Gießen für Grundschülerinnen und Grundschüler/Mathelexikon WiSe 16 17/Division|geteilt]] durch 3 rechnet, ist das Ergebnis 4. Es bleibt kein Rest bestehen. Somit ist 3 ein Teiler von 12.
Man schreibt auch '''3 | 12'''.




== '''Teilermenge''' ==


== '''Teilermenge''' ==
12 hat nicht nur die Zahl 3 als Teiler. Sie ist außerdem durch 1, 2, 4, 6 und 12 ohne Rest teilbar.


12 hat aber nicht nur die Zahl 3 als Teiler. Sie ist außerdem durch 1, 2, 4, 6 und 12 ohne Rest teilbar.
Die Menge aller Teiler einer Zahl nennt man '''Teilermenge.'''  
Die Menge aller Teiler einer Zahl nennt man '''Teilermenge.'''  
Die Teilermenge von 12 beinhaltet also 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Man schreibt das auch so:  
Die Teilermenge von 12 beinhaltet also 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Man schreibt das auch so:  




:T<sub>12</sub> = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
:T<sub>12</sub> = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
 
 
Das T steht für die '''Teilermenge'''. Die kleine 12 daneben zeigt einem die Zahl, deren Teilermenge man sucht. Die Zahlen in den geschweiften Klammern {...} sind alle Zahlen, die Teiler von 12 sind.
 
 
Eine Teilermenge ist '''nicht unendlich''', das heißt es gibt immer eine genaue Anzahl von Teilern einer Zahl. Außerdem sind in jeder Teilermenge mindestens die Zahl selbst und die 1 enthalten.
 
 
Es gibt auch Zahlen, die nur durch sich selbst und die 1 teilbar sind. Diese Zahlen nennt man dann [[Matheprojekte der Justus-Liebig-Universität Gießen für Grundschülerinnen und Grundschüler/Mathelexikon WiSe 16 17/Primzahl|Primzahlen]].
 
== '''Gemeinsame Teiler''' ==
 
Man kann auch die '''gemeinsamen Teiler''' von Zahlen bestimmen.
 
 
:T<sub>12</sub> = {'''1'''; '''2'''; 3; '''4'''; 6; 12}
 
:T<sub>16</sub>  = {'''1'''; '''2'''; '''4'''; 8; 16}
 
 
In diesem Beispiel werden zwei Teilermengen angeschaut, die der 12 und die der 16.  Die Zahlen, die man in beiden Teilermengen finden kann, sind die '''gemeinsamen Teiler.'''  Hier wären das 1, 2 und 4.
 
Mathematisch würde man das so schreiben:
 


:T<sub>12</sub> ∩ T<sub>16</sub> = {1; 2; 4}


Das T steht für die '''Teilermenge'''. Die kleine 12 daneben zeigt einem die Zahl, deren Teilermenge man sucht. Die Zahlen in den geschweiften Klammern {...} sind alle Zahlen, durch die 12 teilbar ist.


Eine Teilermenge ist '''nicht unendlich''', das heißt es gibt immer eine genaue Anzahl von Teilern einer Zahl. Außerdem sind in jeder Teilermenge mindestens die Zahl selbst und die 1 enthalten. Es gibt auch Zahlen, die nur durch sich selbst und die 1 teilbar sind. Die nennt man dann Primzahlen.
Das Symbol ∩ zwischen den beiden Mengen zeigt an, dass nur die Schnittmenge betrachtet werden soll. Das heißt, dass die gemeinsamen Teiler zusammen aufgeschrieben werden. Die Zahlen, die nicht in beiden Teilermengen zu finden sind, werden weggelassen.  


Wenn zwei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler außer der 1 haben, sind sie '''teilerfremd'''.
Ein Beispiel wären die Zahlen 21 und 16.


Man kann auch die gemeinsamen Teiler von Zahlen bestimmen. Als Beispiel könnte man hier 12 und 16 nehmen. Zunächst schaut man sich beide Teilermengen an.


:T<sub>21</sub> ∩ T<sub>16</sub> = {1}


:T<sub>12</sub> = {1, 2, 3, 4, 6, 12}


:T<sub>16</sub>  = {1, 2, 4 , 8, 16}
==== Größter gemeinsamer Teiler ====
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die in der Schnittmenge zweier Teilermengen zu finden ist.


== '''Gemeinsame Teiler''' ==


Die Zahlen, die man in beiden Teilermengen finden kann, sind die '''gemeinsamen Teiler.''' Hier wären das 1, 2 und 4.
:T<sub>12</sub> ∩ T<sub>16</sub> = {1; 2; '''4'''}
 


Mathematische würde man das so schreiben:
In dem Beispiel T<sub>12</sub> ∩ T<sub>16</sub> wäre das die 4.


Man schreibt auch:


:T<sub>12</sub> ∩ T<sub>16</sub> = {1, 2, 4}


:'''ggT''' = 4


Das Symbol ∩  vereinigt die Teilermengen. Das heißt, dass die gemeinsamen Teiler zusammen aufgeschrieben werden. Die Zahlen, die nicht in beiden Teilermengen zu finden sind, werden weggelassen.
Siehe hierzu auch Mengen (Link einfügen).
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die in einer gemeinsamen Teilermenge von zwei Zahlen zu finden ist. In dem Beispiel T12 ∩ T16  wäre das die 4.


:T<sub>12</sub> ∩ T<sub>16</sub> = {1, 2, 4}
Das "ggT" steht für '''g'''rößter '''g'''emeinsamer '''T'''eiler.

Aktuelle Version vom 27. Februar 2017, 13:23 Uhr

Teiler

Wenn man eine Zahl durch einen ihrer Teiler dividiert, bleibt kein Rest übrig.

Jede Zahl hat mehrere Teiler. Ein Ausnahmefall ist die Zahl 1, da diese ausschließlich die 1 als Teiler hat.

Teiler.png

In der Mathematik nennt man den Teiler auch Divisor.


Beispiel

Wenn man zum Beispiel 12 geteilt durch 3 rechnet, ist das Ergebnis 4. Es bleibt kein Rest bestehen. Somit ist 3 ein Teiler von 12. Man schreibt auch 3 | 12.


Teilermenge

12 hat nicht nur die Zahl 3 als Teiler. Sie ist außerdem durch 1, 2, 4, 6 und 12 ohne Rest teilbar.

Die Menge aller Teiler einer Zahl nennt man Teilermenge. Die Teilermenge von 12 beinhaltet also 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Man schreibt das auch so:


T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}


Das T steht für die Teilermenge. Die kleine 12 daneben zeigt einem die Zahl, deren Teilermenge man sucht. Die Zahlen in den geschweiften Klammern {...} sind alle Zahlen, die Teiler von 12 sind.


Eine Teilermenge ist nicht unendlich, das heißt es gibt immer eine genaue Anzahl von Teilern einer Zahl. Außerdem sind in jeder Teilermenge mindestens die Zahl selbst und die 1 enthalten.


Es gibt auch Zahlen, die nur durch sich selbst und die 1 teilbar sind. Diese Zahlen nennt man dann Primzahlen.

Gemeinsame Teiler

Man kann auch die gemeinsamen Teiler von Zahlen bestimmen.


T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
T16 = {1; 2; 4; 8; 16}


In diesem Beispiel werden zwei Teilermengen angeschaut, die der 12 und die der 16. Die Zahlen, die man in beiden Teilermengen finden kann, sind die gemeinsamen Teiler. Hier wären das 1, 2 und 4.

Mathematisch würde man das so schreiben:


T12 ∩ T16 = {1; 2; 4}


Das Symbol ∩ zwischen den beiden Mengen zeigt an, dass nur die Schnittmenge betrachtet werden soll. Das heißt, dass die gemeinsamen Teiler zusammen aufgeschrieben werden. Die Zahlen, die nicht in beiden Teilermengen zu finden sind, werden weggelassen.

Wenn zwei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler außer der 1 haben, sind sie teilerfremd. Ein Beispiel wären die Zahlen 21 und 16.


T21 ∩ T16 = {1}


Größter gemeinsamer Teiler

Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die in der Schnittmenge zweier Teilermengen zu finden ist.


T12 ∩ T16 = {1; 2; 4}


In dem Beispiel T12 ∩ T16 wäre das die 4.

Man schreibt auch:


ggT = 4


Das "ggT" steht für größter gemeinsamer Teiler.

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